有一根均匀木棍，先用红色刻度线将它分成m等份，再用蓝色刻度线将它分成n等份，m＞n．然后按所有刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不一的小棍，其中最长的小棍恰有100根

Question

有一根均匀木棍，先用红色刻度线将它分成m等份，再用蓝色刻度线将它分成n等份，m＞n．然后按所有刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不一的小棍，其中最长的小棍恰有100根．求m和n．

Answer 1

A=（1-(1)/(2)）（1+(1)/(2)）（1-(1)/(3)）（1+(1)/(3)）…（1-(1)/(m)）（1+(1)/(m)），
B=（1-(1)/(2)）（1+(1)/(2)）（1-(1)/(3)）（1+(1)/(3)）…（1-(1)/(n)）（1+(1)/(n)），
因为A-B=(m+1)/(2m)−(n+1)/(2n)=(1)/(2m)−(1)/(2n)=(1)/(26)，
所以(1)/(m)−(1)/(n)＝(1)/(13)，
则m=(13n)/(n+13)=(13(n+13−13))/(n+13)＝13−(13×13)/(n+13)，
即n+13是13×13的因数，
又因为13×13的因数只有3个：1、13、13×13，
所以n+13=13×13=169，
解得n=156，m=12．