求一切实数k,使得关于x的方程:5x2-5kx+66k-1=0的两根均为正整数.PS,因为本人数学真的不怎样.确定是66k。

Question

求一切实数k,使得关于x的方程:5x2-5kx+66k-1=0的两根均为正整数.
PS,
因为本人数学真的不怎样.
确定是66k。

Answer 1

设x1,x2是方程的正整数解,则
消去k,得：5x1x2=66(x1+x2)-1 ∴(5x1-66)(5x2-66)=4351=19×229
不妨设x1≤x2,则 ∴x1=17, x2=59. ∴k=x1+x2=76
又⊿=25k2-20(66k-1)=25×762-20×(66×76-1)=2102>0
∴k=76为所求.
说明：因为已知方程的两根为正整数,且由韦达定理易知K为两根之和是正整数,故已知方程是整系数方程,故此题可用判别式法求解.