两个一元二次方程有公共根的必要条件左边是什么的平方 ,右边是两个2项式相乘 ,都是两个方程的系数式子我知道 不知怎么证

Question

两个一元二次方程有公共根的必要条件
左边是什么的平方 ,右边是两个2项式相乘 ,都是两个方程的系数
式子我知道 不知怎么证

Answer 1

设公共根为α,两方程为a1x²+b1x+c1,a2x²+b2x+c2
将α代入得
a1α²+b1α+c1 （1）
a2α²+b2α+c2 （2）
（1）*a2-（2）*a1得
（a2b1-a1b2）α=-a2c1+a1c2
若a2b1-a1b2=0,-a2c1+a1c2=0,则a为任意实数
若b2,c2不是0,则可以写成比例形式.
（1）a1/a2=b1/b2=c1/c2,α为任意实数；
（2）a1/a2≠b1/b2,α=（a1c2-a2c1）/（a2b1-a1b2）
注：第一种情况为同解方程,第二种情况为有一公共根
a1c2α2+b1c2α+c1c2
a2c1α2+b2c1α+c1c2
相减得
（a1c2-a2c1）α2+（b1c2-b2c1）α=0
提α得
α【（a1c2-a2c1）α+（b1c2-b2c1）】=0
则α=0（暂不考虑）或α=（b2c1-b1c2）/（a1c2-a2c1）
往上查几行,
有个α=（a1c2-a2c1）/（a2b1-a1b2）
二式相等
即（b2c1-b1c2）/（a1c2-a2c1）=（a1c2-a2c1）/（a2b1-a1b2）
交叉相乘得
（a1c2-a2c1）²=（b1c2-b2c1）（a1b2-a2b1）