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国庆长假期间小明去参观画展,为了保护壁画,举办方在壁画前方用垂直于地面的透明玻璃幕墙与观众隔开,小明在一幅壁画正前方驻足观看.如图是小明观看该壁画的纵截面示意图

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国庆长假期间小明去参观画展,为了保护壁画,举办方在壁画前方用垂直于地面的透明玻璃幕墙与观众隔开,小明在一幅壁画正前方驻足观看.如图是小明观看该壁画的纵截面示意图,已知壁画高度AB是2米,壁画底端与地面的距离BO是1米,玻璃幕墙与壁画之间的距离OC是1米.若小明的身高为a米(0<a<3),他在壁画正前方x米处观看,问x为多少时,小明观看这幅壁画上下两端所成的视角θ最大?
▼优质解答
答案和解析
(本小题满分16分)因为y=tanx在x∈(0,)是增函数,(1)当0<a<1时,如图1,tanθ=tan(α-β)==,令函数f(x)=,可证明函数f(x)在(0,)是单调减函数,在是单调增函数.若时,即,f(x)在[1,+∞)上是增函数,此时当x=1时tanθ取得最大值,则视角θ最大.若时,即,①当x=时,tanθ取得最大值,则视角θ最大.②当a=1时,tanθ=(x≥1),当x=1时tanθ取得最大值,则视角θ最大.(2)当1<a<3且a≠2时如图2,tanθ═tan(α+β)==,令g(x)=,在[1,+∞)上是增函数,所以当x=1时,ymax>0,tanθ>0,故θ为锐角.∴当x=1时,g(x)取得最小值,tanθ取得最大值,则视角θ最大.综上:当时,且x=1时,视角θ最大;当,时,且x=时,视角θ最大.
分析:
通过0<a<1,1<a<3且a≠2,分别求出tanθ,构造函数通过函数的单调性求出函数的最大值,说明视角最大.
点评:
本题考查解三角形的实际应用,考查函数的单调性的应用,分类讨论思想,计算能力.
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