数量关系中的一个分东西问题一个盒子中有几百颗糖,如果平均分给7个人则多3颗,平均分给8个人则多6颗,如果再加3颗,可以平均分给5个人,那么该盒子中的糖的数目可能有多少颗?

Question

数量关系中的一个分东西问题
一个盒子中有几百颗糖,如果平均分给7个人则多3颗,平均分给8个人则多6颗,如果再加3颗,可以平均分给5个人,那么该盒子中的糖的数目可能有多少颗?

Answer 1

设糖的数目为x
已知如果再加3颗,可以平均分给5个人,有（x+3）能被5整除
由于能被5整除的数的末位只能是5或0,所以（x+3)的末位数只能是5或0
所以x的末位数只能是2或7
因为有如果平均分给8个人则多6颗
则有：如果x末位为7,（x-6)末位为1,不可能被8整除,所以末位为7不成立,x的末位只能是2
所以（x-3）的末位为9,（x-6)末位数则为6,
已知如果平均分给7个人则多3颗
所以（x-3）必为7的整数倍,且7的整数倍末位为9的可能性只有7的7倍、17倍、27倍.等等（n×10+7）才能出现（n为自然数）
而（x-6）又是8的整数倍,且（x-6）尾数为6,可能性只有8的7倍、17倍、27倍.等等（m×10+7）,或者8的2倍、12倍、22倍才能出现.等等（m×10+2）才能出现（m为自然数）
先来看x-6=（m×10+7）的情况,
可以得到
等式3+7×（n×10+7）=x=6+8×(m×10+7）,其中n,m均为自然数
运算得到70n+52=x=80m+62,70n+52=80m+62,70n=80m+10,7n=8m+1
当m=0时,n非自然数
当m=1时,n非自然数
当m=2时,n非自然数
当m=3时,n非自然数
当m=4时,n非自然数
当m=5时,n非自然数
当m=6时,n=7
当m=7时,n非自然数
当m=8时,n非自然数
当m=9时,n非自然数
3+7×（n×10+7）=x=6+8×(m×10+7）
x=542
因为7和8最小公倍数为56且x的末位数必为2,让等式两边都加56×10=560,同样成立,
3+7×（70+7）+560=x=6+8×(60+7）+560
有3+7×[(70+80+7）]=x=6+8×[(80+70)+7]
此时x=1102,
由于已知中有“一个盒子中有几百颗糖”,所以x不大于1000,所以x只能是542
即盒子里有542颗糖
再来看x-6=（m×10+2）的情况
依上面的步骤可以得到8m=7n+3
当m=0时,n非自然数
当m=1时,n非自然数
当m=2时,n非自然数
当m=3时,n=3
当m=4时,n非自然数
当m=5时,n非自然数
当m=6时,n非自然数
当m=7时,n非自然数
当m=8时,n非自然数
当m=9时,n非自然数
3+7×（n×10+7）=x=6+8×(m×10+2）
x=262
两边加560同样成立,此时x=8221000,
所以盒子里糖数量可能是262,822,或者542