设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）-f（x）=xlnx，f（1e）=1e，则f（x）（）A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，也无极

Question

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）-f（x）=xlnx，f（

(1)/(e)）=(1)/(e)，则f（x）（　　）

A. 有极大值，无极小值

B. 有极小值，无极大值

C. 既有极大值，又有极小值

D. 既无极大值，也无极小值

Answer 1

∵xf′（x）-f（x）=xlnx，
∴(xf′(x)-f(x))/(x2)=(lnx)/(x)，
∴[(f(x))/(x)]′=(lnx)/(x)，
而[((lnx)2)/(2)]′=(lnx)/(x)，
∴(f(x))/(x)=((lnx)2)/(2)+c，
∴f（x）=(x(lnx)2)/(2)+cx，
由f（(1)/(e)）=(1)/(e)，解得c=(1)/(2)，
∴f（x）=(x(lnx)2)/(2)+(1)/(2)x，
∴f′（x）=(1)/(2)（1+lnx）²≥0，
f（x）在（0，+∞）单调递增，
故函数f（x）无极值，
故选：D．