试证明：如果一个分数的分子不能被分母除尽，则此分数的小数形式必为无限循环小数关键：为啥晓得所有这样的分数的小数形式就一定循环？？？别告诉偶这是千年来的经验。

Question

试证明：如果一个分数的分子不能被分母除尽，则此分数的小数形式必为无限循环小数
关键：为啥晓得所有这样的分数的小数形式就一定循环？？？别告诉偶这是千年来的经验。

Answer 1

楼主你好！
这道题需要证明的是：
如果分子不能被分母除尽，则此分数的小数形式是无限循环小数。
这个证明就包括了两个要点：
1、分数的小数形式不是有限小数
2、分数的小数形式不是无限不循环小数。

我们都知道，分数只有三种形式，即有限小数，无限不循环小数和无限循环小数。如果排除了前两个，那么自然就证明出来第三个了。

下面就证明上面的两个要点
1、小数形式不是有限小数
这个比较好证明。从反方面（逆否命题）来证明:如果分数的小数形式是有限小数，那么分数分子能够被分母除尽。
若是有限小数，那么一定可以写成整数除以10000000（若干个零）00的形式。也就是说，这个分数的分子可以被分母除尽。
这个就命题就证明出来了

2、分数的小数形式不是无限不循环小数。
命题：分数不会出现无限不循环小数。
我们可以从整数除法的过程中来看看这个问题：
若存在一个无限不循环小数，可以表示成为最简分数p/q
那么，用p除q，是除不尽的，且得到的小数是无限不循环的。
我们从整数除法当中来看除的过程。
除到某一位时，商位k，余数为r。这个余数一定是有限的（比如，10以内，或100以内，或1000以内。。由q的条件决定）
那么在下面的除法时，不能再出现这个余数（一旦出现，则结果就回进入循环。）
但是余数是有限的，其上限也是有限的，如10以内，那么余数的出现无非这10个数字，即，不可能出现无限的不同的余数。
所以，分数是一定会进入循环的。
命题得证：分数不会出现无限不循环小数。

综上所述，如果一个分数的分子不能被分母除尽，则此分数的小数形式必为无限循环小数