试求函数F(xy)=x平方乘y乘（4-x-y)在直线x+y=6,y=0,x=0所围闭区域D上的 最大值和最小值

Question

试求函数F(xy)=x平方乘y乘（4-x-y)在直线x+y=6,y=0,x=0所围闭区域D上的 最大值和最小值

Answer 1

空间曲面问题,x>=0,y>=0,x+y<=6
最小值为x*x*y*(4-x-y)在x+y=6时即x*x*y=x*x*(6-x)最大,求导数=0得到
x=4,y=2,F最小=16*2*(4-6)=-64.
最大时（4-x-y)>0,定义4-x-y=k>0,将y=4-x-k带入FXY,对X求导数=0,得到
k=-1.5x,
将y=4-x-k,k=4-1.5x,带入FXY,对X求导数=0,得到X=2,
进尔k=1,y=1.
FXY=2*2*1*(4-1-2)=4;