数学证明公垂线、、DE∩AC=MB1E∩BC1=NAC1是正方体E是BC中点求证1MN是ACBC1的公垂线2MN的长度方法多多益善

Question

数学 证明 公垂线
、、DE∩ AC=M B1E∩ BC1=N AC1是正方体 E是BC中点求证 1MN 是AC BC1的公垂线 2MN的长度方法多多益善

Answer 1

解法一：1.连接线段B1D, 所以线段MN在平面B1ED上,连结A1C1、A1B,根据三垂线定理可知B1D⊥A1C1,B1D⊥BC1,又因为△BEN∽△B1C1N,NE=B1N/2,同理有ME=MD/2,又因为MN、B1D在同一平面内,在△EB1D与△EMN中,EN/NB1=EM/MD=1/2,所以△EB1D∽△EMN,即有MN∥DB1,所以有MN⊥A1C1,MN⊥BC1,所以MN是AC BC1的公垂线2.设正方体的棱长为a,有上述证明可知,MN=B1D/3,因为B1D为正方体的体对角线,所以B1D=√3a,所以MN=B1D/2=√3a/3解法二：以D为坐标原点,DA、DC、DD1分别为空间直角坐标系的x、y、z轴,设正方体的棱长为1,则有A（1,0,0）、B（1,1,0）、C（0,1,0）、D（0,0,0）、E（1/2,1,0）、A1（1,0,1）、B1（1,1,1）、C1（0,1,1）、D1（0,0,1）,根据解法一中的比例关系可知M（1/3,2/3,0）、N（2/3,1,1/3）、所以向量MN=（1/3,1/3,1/3）,向量AC=（-1,1,0）,所以向量MN与向量AC的数量积为0,所以MN⊥AC,同理MN⊥BC1,所以MN为是AC BC1的公垂线,|MN|=√（1/3?+1/3?+1/3?）=√3/3