已知球O的球面有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C,四点共面,△ABC是边长为2的已知球O的球面有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C,四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则三棱锥S-ABC的体积最大值为

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已知球O的球面有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C,四点共面,△ABC是边长为2的
已知球O的球面有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C,四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则三棱锥S-ABC的体积最大值为

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答案和解析

由于O,A,B,C,四点共面,所以三角形ABC位于圆O的最大横切面上,即直径的面上.三角形面积为√3,圆O半径为√5/5.因为平面SAB垂直于平面ABC,作过S点的直线SD垂直于平面ABC,所以SD垂直于AB,AC,BC.过O点作直线SF垂直于ABC垂足为E交于圆于点F和垂线OG过O点垂直于三角形ABC交于圆上G点.因为S在圆上,所以只有当SD垂直于AB的中点时SD最长,根据相似三角形的判定,（三角形OGF和三角形OEF）,SD等于1/2圆O半径为√5/10 .所以三棱锥的体积最大为√15/30.

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