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求证:cos²a-sin²b=cos(a-b)cos(a+b)
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求证:cos²a-sin²b=cos(a-b)cos(a+b)
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答案和解析
证明：因为cos2a=cos[(a-b)+(a+b)]=cos(a-b)cos(a+b)-sin(a-b)sin(a+b)
cos2b=cos[(a+b)-(a-b)]=cos(a+b)cos(a-b)＋sin(a+b)sin(a-b)
所以：cos2a+cos2b=cos(a-b)cos(a+b)-sin(a-b)sin(a+b)+cos(a+b)cos(a-b)＋sin(a+b)sin(a-b)
即cos2a+cos2b=2cos(a-b)cos(a+b)
又cos2a=2cos²a-1,cos2b=1-2cos²b
所以：2cos²a-1＋1-2cos²b＝2cos(a-b)cos(a+b)
2cos²a-2cos²b＝2cos(a-b)cos(a+b)
即cos²a-sin²b=cos(a-b)cos(a+b)
等式得证.
cos2b=cos[(a+b)-(a-b)]=cos(a+b)cos(a-b)＋sin(a+b)sin(a-b)
所以：cos2a+cos2b=cos(a-b)cos(a+b)-sin(a-b)sin(a+b)+cos(a+b)cos(a-b)＋sin(a+b)sin(a-b)
即cos2a+cos2b=2cos(a-b)cos(a+b)
又cos2a=2cos²a-1,cos2b=1-2cos²b
所以：2cos²a-1＋1-2cos²b＝2cos(a-b)cos(a+b)
2cos²a-2cos²b＝2cos(a-b)cos(a+b)
即cos²a-sin²b=cos(a-b)cos(a+b)
等式得证.
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