20、21题求解.实在是数学太差看不懂

Question

20、21题求解.实在是数学太差看不懂
 

Answer 1

20.若x->0时,√（1+tanx)-√(1+sinx∽x^α/4,则α=
分子有理化：
√(1+tanX)-√(1+sinX)=
（√(1+tanX)-√(1+sinX)）（√(1+tanX)+√(1+sinX)）/（√(1+tanX)+√(1+sinX)）
=(tanX-sinX)/（√(1+tanX)+√(1+sinX)）
当X趋于0时,分母（√(1+tanX)+√(1+sinX)）趋于2,
所以只需要考虑tanX-sinX∽(1/4)X^α.
而tanX-sinX=sinX*(cosX-1)/cosX,当 X趋于0时,cosX趋于1,所以只需要考虑
sinX*(cosX-1)∽(1/4)X^α.明显sinX∽X,cosX-1=-2*sin(X/2)^2∽X^2,
所以sinx*(cosX-1)∽X^3,
∴α=3.
21.(x→0^+)lim(1-cos√x)/ln(1+xe^x)
=(x→0^+)limsin√x/2√x/(x→0^+)lime^x(1+x)/（1+xe^x) [洛必达法则]
分子中：(x→0^+)limsin√x/√x=1 [sin√x和√x是等价无穷小量]
∴分子：(x→0^+)limsin√x/2√x=1/2.
显然分母的极限是1,
∴(x→0^+)lim(1-cos√x)/ln(1+xe^x)=1/2.