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如图1,椭圆x29+y24=1的下顶点为C,A,B分别在椭圆的第一象限和第二象限的弧上运动,满足OA⊥OB,其中O为坐标原点,现沿x轴将坐标平面折成直二面角.如图2所示,在空间中,解答下列问题

题目详情
如图1,椭圆
x2
9
+
y2
4
=1的下顶点为C,A,B分别在椭圆的第一象限和第二象限的弧上运动,满足
OA
OB
,其中O为坐标原点,现沿x轴将坐标平面折成直二面角.如图2所示,在空间中,解答下列问题:
(1)证明:OC⊥AB;
(2)设二面角O-BC-A的平面角为α,二面角O-AC-B的平面角为β,二面角O-AB-C的平面角为θ,求证:cos2α+cos2β+cos2θ=1;
(3)求三棱锥O-ABC的体积的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:由题设知,沿x轴将坐标平面折成直二面角后,
∵OC⊥x轴,且OC⊥y轴,
∴OC⊥面AOB,
∵AB⊂面AOB,
∴OC⊥AB.
(2)证明:∵
OA
OB
,∴OA⊥OB,
∴设直线OA方程为y=kx,OB的方程为y=-
x
k

解方程组
x2
9
+
y2
4
=1
y=kx
,得A(
6
4+9k2
6k
4+9k2
),(舍去x<0的解)
解方程组
作业帮用户 2017-11-16
问题解析
(1)由题设知,沿x轴将坐标平面折成直二面角后,OC⊥x轴,且OC⊥y轴,所以OC⊥面AOB,由此能够证明OC⊥AB.
(2)由
OA
OB
,OA⊥OB,设直线OA方程为y=kx,OB的方程为y=-
x
k
,解方程组
x2
9
+
y2
4
=1
y=kx
,得A(
6
4+9k2
6k
4+9k2
),解方程组
x2
9
+
x2
4
=1
y=-
x
k
,得B(-
6k
9+4k2
6
9+4k2
),OA=
6
1+k 2
4+9k2
,OB=
6
1+k2
9+4k2
,OC=2,以O为原点,以OA为x轴,OB为y轴,OC为z轴,建立空间直角坐标系,由向量法能够证明cos2α+cos2β+cos2θ=1.
(3)由OC⊥面OAB,知三棱锥O-ABC的高OC=2,底面积S=S△0AB=
1
2
×
6
1+k2
4+9k2
× 
6
1+k2
9+4k2
=
18(1+k2)
(4+9k2)(9+4k2)
≥3,由此能求出三棱锥O-ABC的体积的最小值.
名师点评
本题考点:
直线与圆锥曲线的综合问题;棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系;与二面角有关的立体几何综合题.
考点点评:
本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,难度大,综合性强,易出错.解题时巧妙地引空间直角坐标系,恰当地利用空间向量进行求解,能够简化运算.
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