如图1，椭圆x29+y24＝1的下顶点为C，A，B分别在椭圆的第一象限和第二象限的弧上运动，满足OA⊥OB，其中O为坐标原点，现沿x轴将坐标平面折成直二面角．如图2所示，在空间中，解答下列问题

Question

如图1，椭圆(x2)/(9)+(y2)/(4)＝1的下顶点为C，A，B分别在椭圆的第一象限和第二象限的弧上运动，满足

OA

⊥

OB

，其中O为坐标原点，现沿x轴将坐标平面折成直二面角．如图2所示，在空间中，解答下列问题：
（1）证明：OC⊥AB；
（2）设二面角O-BC-A的平面角为α，二面角O-AC-B的平面角为β，二面角O-AB-C的平面角为θ，求证：cos²α+cos²β+cos²θ=1；
（3）求三棱锥O-ABC的体积的最小值．

Answer 1

（1）证明：由题设知，沿x轴将坐标平面折成直二面角后，
∵OC⊥x轴，且OC⊥y轴，
∴OC⊥面AOB，
∵AB⊂面AOB，
∴OC⊥AB．
（2）证明：∵

OA

⊥

OB

，∴OA⊥OB，
∴设直线OA方程为y=kx，OB的方程为y=-(x)/(k)，
解方程组

(x2)/(9)+(y2)/(4)＝1

y＝kx

，得A（(6)/(√(4+9k2))，(6k)/(√(4+9k2))），（舍去x＜0的解）
解方程组

作业帮用户 2017-11-16

问题解析

（1）由题设知，沿x轴将坐标平面折成直二面角后，OC⊥x轴，且OC⊥y轴，所以OC⊥面AOB，由此能够证明OC⊥AB．
（2）由

OA

⊥

OB

，OA⊥OB，设直线OA方程为y=kx，OB的方程为y=-(x)/(k)，解方程组

(x2)/(9)+(y2)/(4)=1

y=kx

，得A（(6)/(√(4+9k2))，(6k)/(√(4+9k2))），解方程组

(x2)/(9)+(x2)/(4)=1

y=-(x)/(k)

，得B（-(6k)/(√(9+4k2))，(6)/(√(9+4k2))），OA=(6√(1+k2))/(√(4+9k2))，OB=(6√(1+k2))/(√(9+4k2))，OC=2，以O为原点，以OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系，由向量法能够证明cos²α+cos²β+cos²θ=1．
（3）由OC⊥面OAB，知三棱锥O-ABC的高OC=2，底面积S=S_△0AB=(1)/(2)×(6√(1+k2))/(√(4+9k2))× (6√(1+k2))/(√(9+4k2))=(18(1+k2))/(√((4+9k2)(9+4k2)))≥3，由此能求出三棱锥O-ABC的体积的最小值．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．

考点点评：

本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，难度大，综合性强，易出错．解题时巧妙地引空间直角坐标系，恰当地利用空间向量进行求解，能够简化运算．

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