如何利用建立坐标系算二面角的余弦值、点到面的距离、异面直线垂直?可以举一道题目的例子讲解

Question

如何利用建立坐标系算二面角的余弦值、点到面的距离、异面直线垂直?
可以举一道题目的例子讲解

Answer 1

建立坐标系关键是想把位置关系(向量)用坐标表示,所以归根结底还是使用向量解决问题
1.二面角的余弦值（α,β的二面角）
面的"方向"可以由这个面的法向量完全确定,所以你先要建立坐标系把两个面的单位法向量表示成坐标.然后计算两个单位法向量的数量积,结果就是余弦值,即:
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cos=n1*n2 （n1,n2分别是面α,面β的单位法向量）
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2.点面距离（点P到面α的距离）
先计算面α的单位法向量n,然后在面α任意选一个比较”好”的点Q,计算向量PQ和单位法向量的数量积,结果就是距离
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H=PQ*n （n是α的单位法向量,Q是α上任意的一点）
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3．异面直线垂直（证明AB⊥CD)
计算两直线的方向向量（和直线平行的向量)s1,s2
如过两方向向量的数量积为0,则直线垂直
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s1*s2=0 等效于 AB⊥CD
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