（本题满分10分）如图，已知正三棱柱的所有棱长都为2，为棱的中点，（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值大小.

Question

（本题满分10分）
如图，已知正三棱柱 的所有棱长都为2， 为棱 的中点，
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值大小.

Answer 1

（本题满分10分）
（1）取 中点 ，连 ，∵ 为正三角形，∴ ，
∵在正三棱柱 中，平面 平面 ,∴ 平面 ………2分
取 中点为 ,以 为原点， , , 的方向为 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 ，

……………4分
∴ ,
∵ , ，
∴ ， ,
∴ 平面 .   ……………………………6分
（2）设平面 的法向量为 , .
，∴ ，∴ ，解得 ，
令 ，得 为平面 的一个法向量，     ………………………8分
由（1）知 平面 ，∴ 为平面 的法向量，
，
∴二面角 的余弦值大小为 .          ……………………10分

略