（2013•湖南）如图．在直棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．（1）证明：AD⊥C1E；（2）当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1-A1B1E的体积．

Question

（2013•湖南）如图．在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=√(2)，AA₁=3，D是BC的中点，点E在棱BB₁上运动．
（1）证明：AD⊥C₁E；
（2）当异面直线AC，C₁E 所成的角为60°时，求三棱锥C₁-A₁B₁E的体积．

Answer 1

（1）∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB₁
∵△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC
又∵BC、BB₁⊂平面BB₁C₁C，BC∩BB₁=B
∴AD⊥平面BB₁C₁C，结合C₁E⊂平面BB₁C₁C，可得AD⊥C₁E；
（2）∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁，
∴∠EC₁A₁（或其补角）即为异面直线AC、C₁E 所成的角
∵∠BAC=∠B₁A₁C₁=90°，∴A₁C₁⊥A₁B₁，
又∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，可得A₁C₁⊥AA₁，
∴结合A₁B₁∩AA₁=A₁，可得A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
∵A₁E⊂平面AA₁B₁B，∴A₁C₁⊥A₁E
因此，Rt△A₁C₁E中，∠EC₁A₁=60°，可得cos∠EC₁A₁=(A1C1)/(C1E)=(1)/(2)，得C₁E=2A₁C₁=2√(2)
又∵B₁C₁=√(A1C12+A1B12)=2，∴B₁E=√(C1E2-B1C12)=2
由此可得V C1-A1B1E=(1)/(3)S_△ A1B1E×A₁C₁=(1)/(3)×(1)/(2)×2×√(2)×

作业帮用户 2017-10-09

问题解析

（1）根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB₁，等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB₁C₁C，从而可得AD⊥C₁E；
（2）根据AC∥A₁C₁，得到∠EC₁A₁（或其补角）即为异面直线AC、C₁E 所成的角．由A₁C₁⊥A₁B₁且A₁C₁⊥AA₁，证出A₁C₁⊥平面AA₁B₁B，从而在Rt△A₁C₁E中得到∠EC₁A₁=60°，利用余弦的定义算出C₁E=2A₁C₁=2√(2)，进而得到△A₁B₁E面积为√(2)，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C₁-A₁B₁E的体积．

名师点评

本题考点：

直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：

本题给出直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在已知侧棱长和底面边长的情况下证明线线垂直并求锥体的体积，着重考查了直棱柱的性质、空间线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．

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