直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BB1＝12BC＝a，∠ABC=90°，N、F分别为A1C1、B1C1的中点．（Ⅰ）求证：CF⊥平面NFB；（Ⅱ）求四面体F-BCN的体积．

Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB＝BB1＝(1)/(2)BC＝a，∠ABC=90°，N、F分别为A₁C₁、B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：CF⊥平面NFB；
（Ⅱ）求四面体F-BCN的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
B₁B⊥AB，BC⊥AB，又B₁B∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C．
又N、F分别为A₁ C₁、B₁ C₁的中点
∴AB∥A₁B₁∥NF．
∴NF⊥平面BB₁C₁C．
∵FC⊂平面BB₁C₁C．∴NF⊥FC．
∵BB₁=B₁F=C₁F=a，∴BF=CF=√(2)a，BC=2a，
∴BF²+CF²=BC²．
∴BF⊥FC，又 NF∩FB=F，
∴FC⊥平面NFB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，NF⊥平面BCC₁B₁，NF＝(1)/(2)A1B1＝(1)/(2)a，
VF−BCN＝VN−BCF＝(1)/(3)S△BCF•NF＝(1)/(3)•(1)/(2)•BC•BB1•NF=(1)/(6)•2a•a•(1)/(2)a＝(1)/(6)a3．