曲线y=根号x,已知上的一条切线,求曲线和切线和x=0,x=2所围成的最小面积

Question

曲线y=根号x,已知上的一条切线,求曲线和切线和x=0,x=2所围成的最小面积

Answer 1

曲线和切线和x=0,x=2所围成的面积最小,即切线与x=0,x=2所围成的面积最小
切线设为y=kx+b,与y=sqrt(x)联立得到关于y的一元二次方程,方程有重根时得到:kb=1/4 (1)
切线与x=0,x=2所围成的面积S=2(k+b)=2(k+1/(4k))>=2,即k=1/2时S取得最小值
此时S=2
再求曲线y=根号x与x=0,x=2所围成的面积：对y=sqrt(x)从x=0到2积分即可
S1=4sqrt(2)/3
所以曲线和切线和x=0,x=2所围成的最小面积为：S-S1=2-4sqrt(2)/3