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数学题急!在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB中点.（1）求证：AC⊥BC1（2）求证：AC1‖平面CDB1（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值
题目详情
数学题 急!
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB中点.
（1）求证：AC⊥BC1
（2）求证：AC1‖平面CDB1
（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值
在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB中点.
（1）求证：AC⊥BC1
（2）求证：AC1‖平面CDB1
（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值
▼优质解答
答案和解析
1.在三角形ABC中 AC^2+BC^2=AB^2
所以三角形ABC为RT三角形
所以AC垂直于BC
又因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中AC垂直于CC1
BC交CC1=C
所以AC垂直于面BCC1B1
所以AC⊥BC1
2.连结C1B交B1C于O 则O为C1B中点
所以OD为三角形ABC1的中位线
所以OD‖AC1
又因为OD属于面CDB1
所以AC1‖平面CDB1
3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中 AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4
所以AC1=5 BC1=4倍根号2
在三角形ABC1中AB=AC1=5 BC=4倍根号2
根据余弦定理得
cosAC1B=C1A^2+C1B^2-AB^2/2*AC1*BC1=4倍根号2/5
所以三角形ABC为RT三角形
所以AC垂直于BC
又因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中AC垂直于CC1
BC交CC1=C
所以AC垂直于面BCC1B1
所以AC⊥BC1
2.连结C1B交B1C于O 则O为C1B中点
所以OD为三角形ABC1的中位线
所以OD‖AC1
又因为OD属于面CDB1
所以AC1‖平面CDB1
3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中 AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4
所以AC1=5 BC1=4倍根号2
在三角形ABC1中AB=AC1=5 BC=4倍根号2
根据余弦定理得
cosAC1B=C1A^2+C1B^2-AB^2/2*AC1*BC1=4倍根号2/5
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