如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）求三棱锥C-BDE的体积．

Question

如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB=2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F．
（1）求证：A₁C⊥平面BDE；
（2）求三棱锥C-BDE的体积．

Answer 1

（1）证明：因为BD⊥AC，BD⊥AA₁，AC∩AA₁=A，
所以BD⊥平面A₁AC，
所以BD⊥A₁C；（3分）
又因为BE⊥B₁C，BE⊥A₁B₁，B₁C∩A₁B₁=B₁，
所以BE⊥平面A₁B₁C，
所以BE⊥A₁C；
因为BD∩BE=B
所以A₁C⊥平面BDE．（6分）
（2） 由题意CE=1，（8分）
所以V_C-BDE=V_E-BDC=(1)/(3)×1×(1)/(2)×2×2=(2)/(3)（14分）