一个倒立圆锥形容器,它的轴截面（过轴截面）是正三角形,在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好与球面相切,问将圆锥内铁球取出后,圆锥内的水面的高为多少?

Question

一个倒立圆锥形容器,它的轴截面（过轴截面）是正三角形,在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球,这时水面恰好与球面相切,问将圆锥内铁球取出后,圆锥内的水面的高为多少?

Answer 1

你自己先画个图.圆锥体积公式是：(1/3)*底面积*高；球体积公式是：(4/3)*圆周率*半径^3；这里我用"pai"表示圆周率.
球心到圆锥顶点的距离
= r/sin30
= 2r
有球时水面高度
= 球心到圆锥顶点的距离 + 球半径
= 2r + r
= 3r
有球时圆锥体积（球体积+水体积）
= (1/3)*底面积*高
= (1/3)*[(pai)(3r/tan30)^2]*(3r)
= 3(pai)r^3
球体积 = (4/3)(pai)(r^3)
水体积
= 有球时圆锥体积 - 球体积
= 3(pai)r^3 - (4/3)(pai)(r^3)
= (5/3)(pai)r^3
设,无球时圆锥水面高度为h.
水体积
= (1/3)*底面积*高
= (1/3)*[(pai)(h/tan30)^2]*h
= (1/9)(pai)h^3
(5/3)(pai)r^3 = (1/9)(pai)h^3
h^3 = 15r^3
h = (15^(1/3))r