已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积高）时，其高的值为（）A．B．C．D．

Question

已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体积=底面积 高）时，其高的值为（   ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

B

本题在空间几何体、导数的应用交汇处命制，解题的关键是建立正六棱柱体积的函数关系式。考生如果对选修系列四的《不等式选讲》较为熟悉的话，求函数 的条件可以使用三个正数的均值不等式进行，
即 ，等号成立的条件是 ，即 。根据正六棱柱和球的对称性，球心 必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量。
以正六棱柱的最大对角面作截面，如图。设球心为 ，正六棱柱的上下底面中心分别为 ，则 是 的中点。设正六棱柱的底面边长为 ，高为 ，则 。正六棱柱的体积为 ，即 ，则 ，得极值点 ，不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点。故当正六棱柱的体积最大，其高为 。