已知圆C：（x-3）+（y-4）=4,直线l1过定点A（1,0）（1）若l1与圆相切,求l1的方程（2）若l1与圆相交于P、Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2：x+y+2y+2=0的交点为N,求证：|AM|*|AN|为定值

Question

已知圆C：（x-3）+（y-4）=4,直线l1过定点A（1,0）（1）若l1与圆相切,求l1的方程（2）若l1与圆相交于P、Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2：x+y+2y+2=0的交点为N,求证：|AM|*|AN|为定值

Answer 1

（Ⅰ）①若直线l 1 的斜率不存在,即直线x=1,符合题意． ②若直线l 1 斜率存在,设直线l 1 为y=k（x-1）,即kx-y-k=0． 由题意知,圆心（3,4）到已知直线l 1 的距离等于半径2,即 |3k-4-k| k2+1 =2解之得k= 3 4 ． 所求直线方程是x=1,3x-4y-3=0． （Ⅱ）直线与圆相交,斜率必定存在,且不为0,可设直线方程为kx-y-k=0 由 x+2y+2=0 kx-y-k=0 得N( 2k-2 2k+1 ,- 3k 2k+1 )又直线CM与l 1 垂直,y=kx-k y-4=- 1 k (x-3) 得M( k2+4k+3 1+k2 ,4k2+2k 1+k2 )． ∴AM*AN= 2 |2k+1| 1+k2 1+k2 3 1+k2 |2k+1| =6为定值．