如图，直四棱柱ABCD-A1B2C3D4中，侧棱AA1=2，底面ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=60°，P为侧棱BB1上的动点．（1）求证：D1P⊥AC；（2）当二面角D1-AC-P的大小为120°，求BP的长；（3）在（2）的条件下，求三

Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₂C₃D₄中，侧棱AA₁=2，底面ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=60°，P为侧棱BB₁上的动点．
（1）求证：D₁P⊥AC；
（2）当二面角D₁-AC-P的大小为120°，求BP的长；
（3）在（2）的条件下，求三棱锥P-ACD₁的体积．

Answer 1

解法一：（1）连接BD，则AC⊥BD，

∵D₁D⊥底面ABCD，∴AC⊥D₁D …（2分）
∴AC⊥平面BB₁D₁D，
∵D₁P⊂平面BB₁D₁D，∴D₁P⊥AC．…（4分）
（2）设AC∩BD=O，
连接D₁O，OP，
∵D₁A=D₁C，∴D₁O⊥AC，同理PO⊥AC，
∴∠D₁OP是二面角D₁-AC-P的平面角．…（6分）
∴∠D₁OP=120°．
设BP=x（0≤x≤2），
∵AB=2，∠ABC=60°，则BO=DO=√(3)，
∴PO=√(3+x2)，D₁O=√(4+3)=√(7)．
在RT△D₁B₁P₁中，D₁P=√(12+(2−x)2)．
在△D₁OP中，由余弦定理D₁P²=D₁O²+PO²-2D₁O•PO•cos120°得
12+（2-x）²=7+3+x²+2√(7)√(3+x2)•(1)/(2)，
即6-4x=

作业帮用户 2017-10-08