如图所示的多面体ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，AD=23，AC=CD=DE=2AB=2，BC=5，F是CD的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Question

如图所示的多面体ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，AD=2√(3)，AC=CD=DE=2AB=2，BC=√(5)，F是CD的中点．

（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；
（Ⅱ）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，取CE的中点P，连接FP，BP．
∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且PF=(1)/(2)DE．
又AB∥DE，且AB=(1)/(2)DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．
又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（Ⅱ） ∵AC=2AB=2，BC=√(5)，
∴BC²=AB²+AC²，∴AB⊥AC．
∵AB⊂平面ABED，∴平面ABED⊥平面ACD于AD．
如图，取AD的中点O，连接CO，EO，
∵在△ACD中，AC=CD=2，∴CO⊥AD，
∴CO⊥平面ABED于点O，
即|CO|为点C到平面ABED的距离，且|CO|=1．
又SABED=(1)/(2)×(1+2)×2√(3)=3√(3)，
故多面体ABCDE的体积为(1)/(3)SABED•|CO|=(1)/(3)×3√(3)×1=√(3)．