投影仪的镜头是一个半球形的玻璃体，光源产生的单色平行光投射到平面上，经半球形镜头折射后在光屏MN上形成一个圆形光斑．已知镜头半径为R，光屏MN到球心O的距离为4R，玻璃对该单色

Question

投影仪的镜头是一个半球形的玻璃体，光源产生的单色平行光投射到平面上，经半球形镜头折射后在光屏MN上形成一个圆形光斑．已知镜头半径为R，光屏MN到球心O的距离为4R，玻璃对该单色光的折射率为n=√(2)，不考虑光的干涉和衍射．求：

（1）能从玻璃体射出的平行光到O点的距离d需满足什么条件．
（2）光屏MN上被照亮的圆形光斑的半径．（结果可用根式表示）

Answer 1

（1）如图所示，光线入射到D点时恰好发生全反射，则 sinC=(1)/(n)=(√(2))/(2)，得 C=45°
由几何关系有 OA=RsinC=(√(2))/(2)R
所以 d≤(√(2))/(2)R
（2）由几何关系有

.

OF

=(R)/(cosC)=√(2)R
又因为 (.O′F)/(r)=tanC，

.

O′F

=4R-

.

OF

解得 r=(4-√(2))R
答：
（1）能从玻璃体射出的平行光到O点的距离d需满足的条件是 d≤(√(2))/(2)R．
（2）光屏MN上被照亮的圆形光斑的半径是（4-√(2)）R．