什么是欧拉线

Question

什么是欧拉线

Answer 1

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.
欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上,即三角形的重心、垂心和外心共线.
欧拉线的证明：
作△ABC的外接圆,连结并延长BO,交外接圆于点D.连结AD、CD、AH、CH、OH.作中线AM,设AM交OH于点G’.∵BD是直径,∴∠BAD、∠BCD是直角.∴AD⊥AB,DC⊥BC.∵CH⊥AB,AH⊥BC,∴DA‖CH,DC‖AH.∴四边形ADCH是平行四边形,∴AH=DC.∵M是BC的中点,O是BD的中点.∴OM=DC.∴OM=AH.∵OM‖AH,∴△OMG’∽△HAG’.∴.∴G’是△ABC的重心.∴G与G’重合.