从船上向海中放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还

Question

从船上向海中放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y（从海平面算起）与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k＞0）．试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y（v）．

Answer 1

取沉放点为坐标原点O，竖直向下为y轴正方向，则
探测仪器受到重力G=mg、阻力f=-kv、浮力h=-Bρg
所以，探测器所受合力F=G+f+h=mg-kv-Bρg
由牛顿第二定律可知：
m(d2y)/(dt2)＝m(dv)/(dt)＝mv(dv)/(dy)＝F＝mg−kv−Bρg
(mv)/(mg−kv−Bρg)dv＝dy
(−(m)/(k)(mg−kv−Bρg)+(m)/(k)(mg−Bρg))/(mg−kv−Bρg)dv＝dy
−(m)/(k)v+(m)/(k)(mg−Bρg)(−(1)/(k))ln|mg−kv−Bρg|＝y+c，c为任意常数
代入初始条件，t=0时，v=0，y=0
则有：c＝(m)/(k)(mg−Bρg)(−(1)/(k))ln|mg−Bρg|＝−(m(mg−Bρg))/(k2)ln|mg−Bρg|
故：y＝−(m)/(k)v+(m)/(k)(mg−Bρg)(−(1)/(k))ln|mg−kv−Bρg|−c
=−(m)/(k)v−(m(mg−Bρg))/(k2)ln|(mg−kv−Bρg)/(mg−Bρg)|
由于探测器要下沉，所以F＞0，即mg-kv-Bρg＞0
所以，y＝−(m)/(k)v−(m(mg−kv−Bρg))/(k2)ln(mg−kv−Bρg)/(mg−Bρg)