线性代数中,基和生成元有什么区别?如题,构成线性空间的基和生成元有什么区别?

Question

线性代数中,基和生成元有什么区别?
如题,构成线性空间的基和生成元有什么区别?

Answer 1

可以认为基是基底组成的向量组,生成元素是矩阵,他们并没有本质区别.
举例如下：x,y,z为某空间的基向量,对于坐标（1 2 3）,生成元则为（x 2y 3z）,x,2y,3z一定是线性无关的,而对于3维空间,任意三个线性无关的列向量可以为做为其基向量,所以生成元（x 2y 3z）本身就可以当空间的基.
在几何意义上可以直观理三维笛卡尔坐标系V1,基向量为三个相互垂直坐标轴上为单位长度的向量,它们组成的矩阵构成基,那你现在任意取一个坐标生成一个元素,比如（1 2 3）生成的元素列向量拿过来当基向量,必然能构成坐标系,我们叫做V2,只不过V2的坐标轴上的坐标不全是单位长度了而已,假如V1里面一个元素坐标为（2 4 6）在V2里面的坐标就是（2 2 2）,V1中所有元素都能用V2这个基底表示,所以V1,V2没有任何本质上的区别.
楼上的说法是错误的,只要坐标里面不含0,那生成元的列向量就绝不可能线性相关.