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（2013•眉山二模）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；（Ⅱ）求锐二面角
题目详情
（2013•眉山二模）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=| 2 |
（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；
（Ⅱ）求锐二面角A-C1D1-C的余弦值．
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）证明：如图（1），
连接CO、A1O、AC、AB1，（1分）
则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，
所以，四边形A1B1CO为平行四边形，（3分）
所以A1O∥B1C，
又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C
所以A1O∥平面AB1C（6分）
（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD
又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，
所以D1O⊥底面ABCD，（7分）
以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，-1，0）．（8分）所以
＝(1，−1，0)，
＝(0，−1，1)，
＝(0，−1，−1)，
＝
＝(1，−1，0)，（9分）
设
＝(x，y，z)为平面C1CDD1的一个法向量，
由
⊥
连接CO、A1O、AC、AB1，（1分）
则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，
所以，四边形A1B1CO为平行四边形，（3分）
所以A1O∥B1C，
又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C
所以A1O∥平面AB1C（6分）
（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD
又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，
所以D1O⊥底面ABCD，（7分）
以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，-1，0）．（8分）所以
| DC |
| DD1 |
| D1A |
| D1C1 |
| DC |
设
| m |
由
| m |
|
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