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如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．（1）证明：面PBD⊥面PAC；（2）求锐二面角A-PC-B的余弦值．
题目详情
如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．（1）证明：面PBD⊥面PAC；
（2）求锐二面角A-PC-B的余弦值．
▼优质解答
答案和解析
证明：
（1）因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD
因为PA⊥平面ABCD，
所有PA⊥BD．…（2分）
又因为PA∩AC=A，
所以BD⊥面 PAC．…（3分）
而BD⊂面PBD，
所以面PBD⊥面PAC．…（5分）
（2）如图，设AC∩BD=O．取PC的中点Q，连接OQ．
在△APC中，AO=OC，CQ=QP，OQ为△APC的中位线，所以OQ∥PA．
因为PA⊥平面ABCD，
所以OQ⊥平面ABCD，…（6分）
以OA、OB、OQ所在直线分别为x轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz
则A（
，0，0），B（0，1，0），C（-
，0，0），P（
，0，2）…（7分）
因为BO⊥面PAC，
所以平面PAC的一个法向量为
=（0，1，0），…（8分）
设平面PBC的一个法向量为
=（x，y，z）
而
=（-
，-1，0），
（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD
因为PA⊥平面ABCD，
所有PA⊥BD．…（2分）
又因为PA∩AC=A，
所以BD⊥面 PAC．…（3分）
而BD⊂面PBD，
所以面PBD⊥面PAC．…（5分）
（2）如图，设AC∩BD=O．取PC的中点Q，连接OQ．
在△APC中，AO=OC，CQ=QP，OQ为△APC的中位线，所以OQ∥PA．
因为PA⊥平面ABCD，
所以OQ⊥平面ABCD，…（6分）
以OA、OB、OQ所在直线分别为x轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz
则A（
| 3 |
| 3 |
| 3 |
因为BO⊥面PAC，
所以平面PAC的一个法向量为
| OB |
设平面PBC的一个法向量为
| n |
而
| BC |
| 3 |
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