如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1＝6，D是棱CC1的中点．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求平面A1B1A与平面AB1C1所成的锐二面角的余弦值．

Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1＝√(6)，D是棱CC₁的中点．
（Ⅰ）证明：A₁D⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求平面A₁B₁A与平面AB₁C₁所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC．∴BC⊥CC₁，
∵AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁．
∵A₁D⊂平面ACC₁A₁，∴BC⊥A₁D，而BC∥B₁C₁，则B₁C₁⊥A₁D．
在Rt△ACC₁与Rt△DC₁A₁中，(AC)/(CC1)＝(DC1)/(AC1)＝(√(2))/(2)，∴△ACC₁～△DC₁A₁，
∴∠AC₁C=∠DA₁C₁．∴∠AC₁C+∠C₁DA₁=90°．即A₁D⊥AC₁．
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，∴A₁D⊥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）如图，设A₁D∩AC₁=H，过A₁作AB₁的垂线，垂足为G，连GH，
∵A₁D⊥平面AB₁C₁，∴AB₁⊥A₁D，∴AB₁⊥平面A₁GH∴∠A₁GH为二面角A₁-AB₁-C₁的平面角．
在Rt△AA₁B₁中，AA1＝√(6)，A₁B₁=2，∴AB1＝√(10)，∴A1G＝(AA1•A1B1)/(AB1)＝(2√(15))/(5)；
在Rt△AA₁C₁中，AA1＝√(6)，

作业搜用户 2017-10-25