某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：销

Question

某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第x天（x为正整数）销售的相关信息，如表所示：

销售量n（件）	n=50-x
销售单价m（元/件）	当1≤x≤20时，m=20+(1)/(2)x
	当21≤x≤30时，m=10+(420)/(x)

（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？
（2）求网店销售该商品30天里所获利润y（元）关于x（天）的函数关系式；
（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

（1）分两种情况
①当1≤x≤20时，将m=25代入m=20+(1)/(2)x，解得x=10
②当21≤x≤30时，25=10+(420)/(x)，解得x=28
经检验x=28是方程的解
∴x=28
答：第10天或第28天时该商品为25元/件．
（2）分两种情况
①当1≤x≤20时，y=（m-10）n=（20+(1)/(2)x-10）（50-x）=-(1)/(2)x²+15x+500，
②当21≤x≤30时，y=（10+(420)/(x)-10）（50-x）=(21000)/(x)-420
综上所述：y=

-(1)/(2)x2+15x+500(1≤x≤20)

(21000)/(x)-420(21≤x≤30)

（3）①当1≤x≤20时
由y=-(1)/(2)x²+15x+500=-(1)/(2)（x-15）²+(1225)/(2)，
∵a=-(1)/(2)<0，
∴当x=15时，y最大值=(1225)/(2)，
②当21≤x≤30时
由y=(21000)/(x)-420，可知y随x的增大而减小
∴当x=21时，y最大值=(21000)/(21)-420=580元
∵580<(1225)/(2)
∴第15天时获得利润最大，最大利润为612.5元．