某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高0.8m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所

Question

某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高0.8m．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示．

根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是．
(1)喷出的水流距水面的最大高度是多少？
(2)如果不计其他因素，那么水池半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
(3)若水流喷出的抛物线形状与(2)相同，喷头距水面0.35米，水池的面积为12.25π平方米，要使水流最远落点恰好落到水池边缘，此时水流最大高度达到多少米？____

Answer 1

【分析】(1)本题是二次函数在实际问题中的运用，y表示水流喷出的高度，x表示水平距离，是二次函数关系，可以利用二次函数的性质解题．
\n(2)欲使喷出的水流都落在水池内，即(1)中x至少为何值时，y>0，根据方程与不等式间的关系，先解方程y=0即可得出x的值；
\n(3)在求另外一个二次函数关系式时，确定函数关系式要充分运用条件“水流喷出的抛物线形状与图(2)相同，喷头距水面0.35米”，求解析式．

(1)y=-x²+2x+=-(x-1)²+1.8
\n答：喷出的水流距水面的最大高度为1.8米
\n(2)当y=0时-x²+2x+=0，
\n即(x-1)²=1.8，
\n解得x₁=1+，x₂=1-(舍去)
\n答：水池半径至少为(1+)米．
\n(3)根据S=πr²，得12.25π=πr²，
\n∴r=3.5m
\n设抛物线解析式为y=-x²+bx+0.35(0≤x≤3.5)
\n把x=3.5，y=0代入，
\n得0=-3.5²+3.5b+0.35
\n解得b=3.4
\n∴y=-x²+3.4x+0.35，
\n即当x=1.7时，y_最大=3.24
\n答：水流最大高度为3.24米．

【点评】本题考查二次函数的实际应用，根据实际问题求二次函数，再运用二次函数求最大值．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．