累次积分∫π20dθ∫cosθ0f（rcosθ，rsinθ）rdr可以写成（）A．∫10dy∫y−y20f（x，y）dxB．∫10dy∫1−y20f（x，y）dxC．∫10dx∫10f（x，y）dyD．∫10dx∫x−x20f（x，y）dy

Question

累次积分

∫

(π)/(2) 0

dθ

∫

cosθ 0

f（rcosθ，rsinθ）rdr可以写成（　　）

A．

∫

1 0

dy

∫

√(y−y2) 0

f（x，y）dx
B．

∫

1 0

dy

∫

√(1−y2) 0

f（x，y）dx
C．

∫

1 0

dx

∫

1 0

f（x，y）dy
D．

∫

1 0

dx

∫

√(x−x2) 0

f（x，y）dy

Answer 1

由于直角坐标系与极坐标系的转换公式是：x=rcosθ，y=rsinθ，r为极径，θ为极角
而积分区域D={(r，θ)|0≤θ≤(π)/(2)，0≤r≤cosθ}，
由0≤θ≤(π)/(2)知，x≥0，y≥0；
由0≤r≤cosθ知，边界曲线是r=cosθ，而r＝√(x2+y2)，cosθ＝(x)/(r)
∴转换成直角坐标系下的边界曲线是：x²+y²=x，即：(x−(1)/(2))2+y2＝(1)/(4)，又x、y非负，因此表示圆心在（(1)/(2)，0），半径是(1)/(2)的上半圆
∴直角坐标系下的积分区域可以写成：D＝(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤√(x−x2)
故选：D．