有n盏有拉线开关的灯都亮着,规定每次拉动（n-1）个开关,能不能将所有灯都关上?

Question

有n盏有拉线开关的灯都亮着,规定每次拉动（n-1）个开关,能不能将所有灯都关上?

Answer 1

分析 先从简单情况想起:当n=1时,显然不行;当n=2时,1号灯拉线不动,2号灯关,2号灯拉线不动,1号灯再关,可行；当n=3时,每盏灯线拉动奇数次才能关闭,3个奇数的和仍是奇数,而n-1=2,故按规定拉动开关的总次数是偶数.因此,不能把灯全部关闭.由此猜测当n为偶数时可以,当n为奇数时不行.
证明（1）当n为奇数时,每盏灯需拉动开关奇数次才能关闭.因此,要全部灯关闭,总拉动开关次数应是奇数个奇数的和,即是奇数.但是此时n-1为偶数,按规定拉线拉动的次数必须为偶数,故无论如何也不可能把全部亮着的灯都关闭.
（2）当n为偶数时,把n盏灯编号为1,2,3,…,n,按如下操作：
第一次：1号灯线不动,拉动其余开关；
第二次：2号灯线不动,拉动其余开关；
……
第n次：n号灯线不动,拉动其余开关.
这样,每盏灯拉动n-1即奇数次,因此可以用上述方案把全部亮着的灯关闭.