若从1，2，3，…，n中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5，其中总有一个整数是素数，求n的最大值．

Question

若从1，2，3，…，n中任取5个两两互素的不同的整数a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，其中总有一个整数是素数，求n的最大值．

Answer 1

若n≥49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整数，但没有一个整数是素数，
∴n≤48，在1，2，3，┉┉，48中任取5个两两互素的不同的整数，
若都不是素数，则其中至少有四个数是合数，不妨假设，为合数，
设其中最小的素因数分别为p₁，p₂，p₃，p₄
由于两两互素，∴p₁，p₂，p₃，p₄两两不同
设p是p₁，p₂，p₃，p₄中的最大数，则p≥7
因为为合数，
所以其中一定存在一个
aj≥p2≥72=49，与n≤48矛盾，
于是其中一定有一个是素数
综上所述，正整数n的最大值为48．