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如图,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,BD⊥AC于点D,将△BCD绕点B逆时针旋转,旋转角的大小与∠CBA相等,如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置,那么∠EFD的正切值是.
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如图,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,BD⊥AC于点D,将△BCD绕点B逆时针旋转,旋转角的大小与∠CBA相等,如果点C、D旋转后分别落在点E、F的位置,那么∠EFD的正切值是___.


▼优质解答
答案和解析
作AH⊥BC于H,延长CD交EF于G,
∵AB=AC,
∴BH=CH=
BC=3,
由勾股定理得,AH=
=4,
×BC×AH=
×AC×BD,即6×4=5×BD,
解得,BD=
,
∴CD=
=
,AD=
,
∵∠FBD=∠CBA,
∴∠FBE=∠DBC,
∵∠DBC+∠C=90°,∠HAC+∠C=90°,
∴∠FBE=∠BAH,
∴FB∥AH,
∴∠FBC=∠AHC=90°,
∴EF∥BC,
∴∠E=∠ABC=∠C=∠EGA,
∴AG=AE=BE-AB=BC-AB=1,
∴DG=
,
∴∠F=∠BDC=90°,
∴F、B、D、G四点共圆,
∴∠EFD=∠GBD,
tan∠GBD=
=
,
∴∠EFD的正切值是
,
故答案为:
.

∵AB=AC,
∴BH=CH=
1 |
2 |
由勾股定理得,AH=
AB2-BH2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
解得,BD=
24 |
5 |
∴CD=
BC2-BD2 |
18 |
5 |
7 |
5 |
∵∠FBD=∠CBA,
∴∠FBE=∠DBC,
∵∠DBC+∠C=90°,∠HAC+∠C=90°,
∴∠FBE=∠BAH,
∴FB∥AH,
∴∠FBC=∠AHC=90°,
∴EF∥BC,
∴∠E=∠ABC=∠C=∠EGA,
∴AG=AE=BE-AB=BC-AB=1,
∴DG=
12 |
5 |
∴∠F=∠BDC=90°,
∴F、B、D、G四点共圆,
∴∠EFD=∠GBD,
tan∠GBD=
GD |
BD |
1 |
2 |
∴∠EFD的正切值是
1 |
2 |
故答案为:
1 |
2 |
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