（2013•宁德）如图，梯形ABCD，AD∥BC，AD=2，AB=4，BC=3．梯形ABCD绕CD的中点O顺时针旋转180°后的图形与原图形构成四边形ABEF．（1）求证：四边形ABEF是平行四边形；（2）四边形EFGH固定不动，

Question

（2013•宁德）如图，梯形ABCD，AD∥BC，AD=2，AB=4，BC=3．梯形ABCD绕CD的中点O顺时针旋转180°后的图形与原图形构成四边形ABEF．
（1）求证：四边形ABEF是平行四边形；
（2）四边形EFGH固定不动，梯形ABCD沿AF方向平移多少后，使得AE⊥BF，并简述理由．

Answer 1

（1）证明：∵梯形ABCD绕CD的中点O顺时针旋转180°后的图形与原图形构成四边形ABEF，
∴AD=CE，DF=BC，∠FDC=∠DCB，
∴AF=BE，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；

（2）梯形ABCD沿AF方向平移1个或9个单位后，使得AE⊥BF．
理由：第一种情况：当AE⊥BF时，
由（1）得出四边形ABEF是平行四边形；则四边形ABEF是菱形，即四边相等，
∵AD=2，AB=4，BC=3，
∴当AF=4时，四边形ABEF是菱形，DG=2+3-4=1，
∴梯形ABCD沿AF方向平移1个单位后，AF=4，此时使得AE⊥BF．
第二种情况：当AE⊥BF时，四边形ABEF仍是平行四边形；则四边形ABEF是菱形，即四边相等，
∵AD=2，AB=4，BC=3，
∴当AF=4时，四边形ABEF是菱形，DG=2+3+4=9，
∴梯形ABCD沿AF方向平移9个单位后，AF=4，此时使得AE⊥BF
综上，梯形ABCD沿AF方向平移1个或9个单位后，使得AE⊥BF．