如何用余弦定理推正弦定理?是余弦推正弦哦，不是正弦推余弦。

Question

如何用余弦定理推正弦定理?
是余弦推正弦哦，不是正弦推余弦。

Answer 1

由余弦定理
a²=b²+c²-2bccosA
A∈(0,π)
则sinA>0
则sinA=√（1-cos²A)
=√(1-((b²+c²-a²)/(2bc))²)
=(√(4b²c²-(b²+c²-a²)²))/2bc
=(√(4b²c²-(b^4+c^4+a^4-2a²c²-2a²b²+2b²c²))/2bc
=(√(2a²c²+2a²b²+2b²c²-a^4-b^4-c^4))/2bc
则a/sinA=2abc/√(2a²c²+2a²b²+2b²c²-a^4-b^4-c^4)
显然右侧a,b,c,位置等同.
同理可得
b/sinB=2abc/√(2a²c²+2a²b²+2b²c²-a^4-b^4-c^4)
c/sinC=2abc/√(2a²c²+2a²b²+2b²c²-a^4-b^4-c^4)
则
a/sinA=b/sinB=c/sinC