已知函数y=log(3)mx^+8x+n/x^+1的定义域为R,值域为0,2,求实数m,n的值

Question

已知函数y=log(3)mx^+8x+n/x^+1的定义域为R,值域为【0,2】,求实数m,n的值

Answer 1

函数y=log<3>[(mx^+8x+n)/(x^+1)]的定义域为R,值域为[0,2],
<==>u=(mx^+8x+n)/(x^+1)]的定义域为R,值域为[1,9],
∴u(x^+1)=mx^+8x+n,
∴（u-m)x^-8x+u-n=0,
∴△(x)=64-4(u-m)(u-n)>=0,
∴u^2-(m+n)u+mn-16<=0,
其解集是1<=u<=9,
∴1,9是方程u^2-(m+n)u+mn-16=0的两根,
由韦达定理,m+n=1+9=10,
mn-16=1*9=9.
解得m=n=5.