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已知函数f(x)=xlnx-a2x2-x+a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是.
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已知函数f(x)=xlnx-
x2-x+a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是___.
a |
2 |
▼优质解答
答案和解析
由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
方程f′(x)=0在(0,+∞)有两个不同根;
即方程lnx-ax=0在(0,+∞)有两个不同根;
转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,
如右图.
可见,若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k,
只须0令切点A(x0,lnx0),
故k=y′
=
,又k=
,
故
=
,
解得,x0=e,
故k=
,
故0<a<
.
故答案为:(0,
).

方程f′(x)=0在(0,+∞)有两个不同根;
即方程lnx-ax=0在(0,+∞)有两个不同根;
转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,
如右图.
可见,若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k,
只须0令切点A(x0,lnx0),
故k=y′
| | x=x0 |
1 |
x0 |
lnx0 |
x0 |
故
1 |
x0 |
lnx0 |
x0 |
解得,x0=e,
故k=
1 |
e |
故0<a<
1 |
e |
故答案为:(0,
1 |
e |
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