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已知函数f(x)=xlnx-a2x2-x+a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是.

题目详情
已知函数f(x)=xlnx-
a
2
x2-x+a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是___.
▼优质解答
答案和解析
作业搜 由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
方程f′(x)=0在(0,+∞)有两个不同根;
即方程lnx-ax=0在(0,+∞)有两个不同根;
转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,
如右图.
可见,若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k,
只须0令切点A(x0,lnx0),
故k=y′
|
 
x=x0
=
1
x0
,又k=
lnx0
x0

1
x0
=
lnx0
x0

解得,x0=e,
故k=
1
e

故0<a<
1
e

故答案为:(0,
1
e
).
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