设f(x)是首项系数为1的整系数多项式,f(-1),f(0),f(1)都不能被3整除.证明：f(x)没有有理根

Question

设f(x)是首项系数为1的整系数多项式,f(-1),f(0),f(1)都不能被3整除.证明：f(x)没有有理根

Answer 1

设f(x)=x^n+an-1x^n-1 +an-2x^n-2 +.+a1x+a0
f(0)=a0
f(1)=偶数次项系数和A + 奇次项系数和B
f(-1)=偶数次项系数和A - 奇次项系数和B
所以A-B、A+B、a0都不是3的倍数
如果有有理根P/Q、（P,Q)=1
则0＝Q^n*f(P/Q)＝P^n+(an-1P^n-1Q) +(an-2P^n-2Q2)+.+a1PQ^n-1+a0Q^n
两边是整数,根据条件,显然P Q都不能是3的倍数所以（P,3)=1, (Q,3)=1
P^2 、Q^2除以3余数都是1.
n是偶数时：
P^n+(an-1P^n-1Q) +(an-2P^n-2Q2)+.+a1PQ^n-1+a0Q^n
除以3余数同：
1+PQan-1 +an-2 +PQan-3+…+PQa1 +a0
=(1+an-2+an-4+…+a0)+PQ(an-1+an-3+……+a1)
除以3余数同A+PQ*B
n是奇数时
P^n+(an-1P^n-1Q) +(an-2P^n-2Q2)+.+a1PQ^n-1+a0Q^n
除以3余数同：
P+Qan-1 +Pan-2 +Qan-3+…+Pa1 +Qa0
=P(1+an-2+an-4+….+a1)+Q(an-1+an-3+…..+a2+a0)
除以3余数同P*B+Q*A
由于P、Q、PQ都不是3的倍数,所以P、Q、PQ除以3的余数是1或者-1
所以Q^n*f(P/Q)除以3余数与 {±（A±B）} 相同,但都不是3的倍数,
与Q^n*f(P/Q) ＝0相矛盾.
所以不存在有理根.