学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有3人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设X为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且X＞0的概率P(X＞0)＝35．（1）求文娱队的人

Question

学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有3人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设X为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且X＞0的概率P(X＞0)＝(3)/(5)．
（1）求文娱队的人数；
（2）从文娱队中选出3人排练一个由1人唱歌2人跳舞的节目，有多少种挑选演员的方法？

Answer 1

（1）设文娱队共有n人（5≤n≤8，n∈N^*），则其中只会唱歌的有（n-5）人，只会跳舞的有（n-3）人，既会唱歌又会跳舞的有（8-n）人．
∵P(X＞0)＝(3)/(5)≠0，∴n＜8．
若n=7，则P(X＞0)＝P(X＝1)＝(C11C16)/(C27)＝(6)/(21)＝(2)/(7)≠(3)/(5)，
∴5≤n≤6．
此时，P(X＞0)＝P(X＝1)+P(X＝2)＝(C18−nC12n−8)/(C2n)+(C28−n)/(C2n)＝(3)/(5)，
即  (2(8−n)(2n−8)+(8−n)(7−n))/(n(n−1))＝(3)/(5)，整理可得3n²-28n+60=0
解方程，得n=6，或n＝(10)/(3)（舍）
所以，文娱队共6人．
（2）由题意知，文娱队中只会唱歌的有1人，记为a，只会跳舞的有3人，记为b、c、d，既会唱歌又会跳舞的有2人，记为e、f；．
若表演唱歌的一人是a，则表演跳舞的2人从b、c、d、e、f中选，有C₅²种选法，
若表演唱歌的一人从e、f中选，则表演跳舞的2人从剩余会跳舞的4人中选，有C₂¹C₄²种选法，
故不同的选法共有C₁¹C₅²+C₂¹C₄²=22种．