建筑工地有一种“深坑打夯机”．工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动可将夯杆从深为h=6.4m的坑中提上来．当夯杆底端升至坑口时，夯杆被释放，最后夯杆在自身重力作用下，

Question

建筑工地有一种“深坑打夯机”．工作时，电动机带动两个紧压夯杆的滚轮匀速转动可将夯杆从深为h=6.4m的坑中提上来．当夯杆底端升至坑口时，夯杆被释放，最后夯杆在自身重力作用下，落回深坑，夯实坑底．之后，两个滚轮再次压紧，夯杆再次被提上来，如此周而复始工作．已知两个滑轮边缘的线速度v恒为4m/s，每个滚轮对夯杆的正压力F=2×10⁴N，滚轮与夯杆间的动摩擦因素µ=0.3，夯杆质量m=1×10³kg，坑深h=6.4m．假定在打夯过程中坑的深度变化不大，．取g=10m/s²，求：

（1）每个打夯周期中 电动机对夯杆所做的功；
（2）每个打夯周期中滑轮对夯杆间因摩擦而产生的热量；
（3）打夯周期．

Answer 1

（1）夯杆上升过程中电动机带动滚轮对夯杆做功，加速上升阶段夯杆加速度　　
a=(2μF−mg)/(m)=(2×0.3×20000−10000)/(1000)=2m/s²
位移s₁=(v2)/(2a)=(42)/(2×2)=4m，
滚轮对夯杆做功
W₁=2μFS₁=4.8×10⁴J
匀速上升阶段滚轮对夯杆的摩擦力突变为静摩擦力，夯杆的位移
S₂=h-S₁=2.4m
摩擦力做功
W₂=mgS₂=2.4×10⁴J
所以每个打夯周期电动机对夯杆做功
W=W₁+W₂=7.2×10⁴J
（2）夯杆加速上升阶段滚轮与夯杆间摩擦生热，加速时间
t=(v)/(a)=2s
两物间相对位移
S_相对=S_轮-S_杆
=vt-S₁
=4m
滚轮与夯杆间摩擦生热
Q=2μFS_相对
=4.8×10⁴J
（3）夯杆离开滚轮后继续上升到最高点经历时间是t₃=(v)/(g)=0.4s，上升高度h₃=0.8m；接着自由下落h₄=7.2m，经历时间t₄=1.2s．因此打夯周期T=t₁+t₂+t₃+t₄=4.2s．
答：（1）每个打夯周期中电动机对夯杆所做的功7.2×10⁴J；
（2）每个打夯周期中滑轮对夯杆间因摩擦而产生的热量4.8×10⁴J；
（3）打夯周期4.2s．