（理科）有120粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一：将120粒种子分种在40个坑内，每坑3粒；方案二：将120粒种子分种在60个坑内，每坑2粒．如果每粒种子发芽的概率为0.5，并且

Question

（理科）有120粒试验种子需要播种，现有两种方案：方案一：将120粒种子分种在40个坑内，每坑3粒；方案二：将120粒种子分种在60个坑内，每坑2粒． 如果每粒种子发芽的概率为0.5，并且，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需1元；假定每个成活的坑可收获100粒试验种子．
（1）用ξ表示补种费用，分别求出两种方案的ξ的数学期望；
（2）用η表示收获试验种子粒数，分别求出两种方案的η的数学期望；
（3）由此你能推断出怎样的结论？

Answer 1

（1）方案一：一个坑内三粒种子都不发芽的概率为p ₁ =（0.5） ³ = (1)/(8) ，由题意可得：ξ ₁ ～B（40， (1)/(8) ），
∴所求的数学期望为Eξ ₁ =40× (1)/(8) =5元；
方案二：一个坑内两粒种子都不发芽的概率为p ₂ =（0.5） ² = (1)/(4) ，由题意可得：ξ ₂ ～B（60， (1)/(4) ），
∴所求的数学期望为Eξ ₂ =60× (1)/(4) =15元；
（2）方案一：一个坑内种子成活的概率为q ₁ = (7)/(8) + (1)/(8) × (7)/(8) = (63)/(64) ，
∴所求的数学期望为Eη ₁ =100×40× (63)/(64) =3987.5粒；
方案二：一个坑内种子成活的概率为q ₂ = (3)/(4) + (1)/(4) × (3)/(4) = (15)/(16) ，
∴所求的数学期望为Eη ₂ =100×60× (15)/(16) =5625粒．
（3）方案一所需要的补种费用少，但是收益也较少；方案二所需要的补种费用较多，但是收益也较大．