将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a（13≤a≤1）的概率．

Question

将长为1的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过a（(1)/(3)≤a≤1）的概率．

Answer 1

设第一段的长度为x，第二段的长度为y，第三段的长度为1-x-y，
则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω={（x，y）|0＜x＜1，0＜y＜1，0＜x+y＜1}，此区域面积为(1)/(2)．
事件“三段的长度都不超过a（(1)/(3)≤a≤1）”所对应的几何区域可表示为：
A={（x，y）|（x，y）∈Ω，x＜a，y＜a，1-x-y＜a}．
即图中六边形区域，此区域面积：
当(1)/(3)≤a≤(1)/(2)时，为（3a-1）²/2，
此时事件“三段的长度都不超过a（(1)/(3)≤a≤1）”的概率为P=((3a−1)2/2)/(1/2)=（3a-1）²；
当(1)/(2)≤a≤1时，为(1)/(2)-(3(1−a)2)/(2)．
此时事件“三段的长度都不超过a（(1)/(3)≤a≤1）”的概率为P=1-3（1-a）²．