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2011年,国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为国际数学节,来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率.为庆祝该节日,某校举办的数学嘉年华活动中,设计了如下有奖闯关游戏:参赛选
题目详情
2011年,国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为国际数学节,来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率.为庆祝该节日,某校举办的数学嘉年华活动中,设计了如下有奖闯关游戏:参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关,若闯关成功,分别获得5个、10个、20个学豆的奖励.游戏还规定,当选手闯过一关后,可以选择带走相应的学豆,结束游戏;也可以选择继续闯下一关,若有任何一关没有闯关成功,则全部学豆归零,游戏结束.设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为
,
,
,选手选择继续闯关的概率均为
,且各关之间闯关成功与否互不影响.
(Ⅰ)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率;
(Ⅱ)设该选手所得学豆总数为X,求X的分布列与数学期望.
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(Ⅰ)求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率;
(Ⅱ)设该选手所得学豆总数为X,求X的分布列与数学期望.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A,
“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1,
“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2,则A1,A2互斥,
P(A1)=
×
×(1-
)=
,…(2分)
P(A2)=
×
×
×
×(1-
)=
,…(4分)
P(A)=P(A1)+P(A2)=
+
=
…(5分)
(Ⅱ)X所有可能的取值为0,5,15,35,…(6分)
P(X=0)=(1-
)+P(A)=
,
P(X=5)=
×
=
,
P(X=15)=
×
×
×
=
,
P(X=35)=
×
×
×
×
=
…(10分)
所以,X的分布列为:
…(11分)
EX=0×
+5×
+15×
+35×
=
…(12分)
“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1,
“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2,则A1,A2互斥,
P(A1)=
3 |
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2 |
3 |
1 |
8 |
P(A2)=
3 |
4 |
1 |
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2 |
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2 |
1 |
16 |
P(A)=P(A1)+P(A2)=
1 |
8 |
1 |
16 |
3 |
16 |
(Ⅱ)X所有可能的取值为0,5,15,35,…(6分)
P(X=0)=(1-
3 |
4 |
7 |
16 |
P(X=5)=
3 |
4 |
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8 |
P(X=15)=
3 |
4 |
1 |
2 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
8 |
P(X=35)=
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1 |
16 |
所以,X的分布列为:
X | 0 | 5 | 15 | 35 | ||||||||
P |
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EX=0×
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