2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选

Question

2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为(3)/(4)，(2)/(3)，(1)/(2)，选手选择继续闯关的概率均为(1)/(2)，且各关之间闯关成功与否互不影响．
（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；
（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，
“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A₁，
“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A₂，则A₁，A₂互斥，
P(A1)=(3)/(4)×(1)/(2)×(1-(2)/(3))=(1)/(8)，…（2分）
P(A2)=(3)/(4)×(1)/(2)×(2)/(3)×(1)/(2)×(1-(1)/(2))=(1)/(16)，…（4分）
P(A)=P(A1)+P(A2)=(1)/(8)+(1)/(16)=(3)/(16)…（5分）
（Ⅱ）X所有可能的取值为0，5，15，35，…（6分）
P(X=0)=(1-(3)/(4))+P(A)=(7)/(16)，
P(X=5)=(3)/(4)×(1)/(2)=(3)/(8)，
P(X=15)=(3)/(4)×(1)/(2)×(2)/(3)×(1)/(2)=(1)/(8)，
P(X=35)=(3)/(4)×(1)/(2)×(2)/(3)×(1)/(2)×(1)/(2)=(1)/(16)…（10分）
所以，X的分布列为：

X	0	5	15	35
P	(7)/(16)	(3)/(8)	(1)/(8)	(1)/(16)

…（11分）
EX=0×(7)/(16)+5×(3)/(8)+15×(1)/(8)+35×(1)/(16)=(95)/(16)…（12分）