利用柱面坐标计算I=∫∫∫f(√(x^2+y^2)dv),其中Ω是由曲面y=√(2x-x^2),z=0,z=a（a>0),y=0所围成的闭区域

Question

利用柱面坐标计算I=∫∫∫f(√(x^2+y^2)dv),其中Ω是由曲面y=√(2x-x^2) ,z=0,z=a（a>0),y=0所围成的闭区域

Answer 1

被积函数中的 f 是什么?不是f(√(x^2+y^2))吧?我当那个f 不存在了
由于区域由z=0,z=a（a>0),y=0所围,因此区域为半个圆柱,也就是说,投影到xoy面是半圆
y=√(2x-x²)即：x²+y²=2x,其极坐标方程为：r=2cosθ
∫∫∫√(x^2+y^2)dv
=∫[-π/2----->π/2]∫[0---->2cosθ]∫[0---a] r*r dzdrdθ
=∫[-π/2----->π/2]∫[0---->2cosθ] ar² drdθ
=(a/3)∫[-π/2----->π/2] r³ |[0---->2cosθ]dθ
=(8a/3)∫[-π/2----->π/2] cos³θ dθ
=(8a/3)∫[-π/2----->π/2] cos²θ d(sinθ)
=(8a/3)∫[-π/2----->π/2] (1-sin²θ) d(sinθ)
=(8a/3)(θ-1/3sin³θ) |[-π/2----->π/2]
=(8a/3)(π-2/3)
=8πa/3-16a/9