设L是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L的方向为逆时针方向，则∫Lxdy-ydxx2+y2=（）A.0B.πC.2πD.-2π

Question

设L是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，L的方向为逆时针方向，则

∫

L

(xdy-ydx)/(x2+y2)=（　　）

A. 0

B. π

C. 2π

D. -2π

Answer 1

由题意，P（x，y）=(-y)/(x2+y2)，Q（x，y）=(x)/(x2+y2)，则
(∂P)/(∂y)=(y2-x2)/((x2+y2)2)，(∂Q)/(∂x)=(y2-x2)/((x2+y2)2)，(∂Q)/(∂x)-(∂P)/(∂y)=0，（x，y）≠（0，0），
由于L所围成的区域D中含O（0，0），(∂P)/(∂y)、(∂Q)/(∂x)在D内除O（0，0）外都连续，
此时在D内取ε>0充分小，使得x²+y²≤ε²不与曲线相交或相切，
由Green公式，知

L

(xdy-ydx)/(x2+y2)=

∮

x2+y2=ɛ2

(xdy-ydx)/(x2+y2)=(1)/(ɛ2)

∮

x2+y2=ɛ2

xdy-ydx
=(1)/(ɛ2)

∫∫

x2+y2≤ɛ2

2dxdy
=(1)/(ε2)•2πε2=2π．
故选：C．